การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์

--------------------------------------------------------------------------------
สืบเนื่องจากการประชุมประจำปีของ NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) เรื่อง มาตรฐานหลักสูตรและการ ประเมินผล
การพัฒนาความสามารถในการคิดในการให้เหตุผล และการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ เป็นเป้าหมายหลักในการเรียนคณิตศาสตร์ถึงกระนั้นก็ดีมีนักเรียนเป็น จำนวนมากที่ไม่สามารถบรรลุเป้าหมายนี้ด้วยเหตุผลนานาประการ นับตั้งแต่ หนังสือเรียนไม่เหมาะสมไปจนถึงงานที่ได้รับมอบหมายไม่เกิดประโยชน์
การคิดและการให้เหตุผลในคณิตศาสตร์คืออะไร ครูจะรู้ได้อย่างไรว่า นักเรียนได้มีการคิดและให้เหตุผล

กิจกรรมนั้นโดยตัวเองแล้วไม่จัดว่าเป็นการให้เหตุผลและ การคิด การให้เหตุผลเกี่ยวกับสถานการณ์ใดสถานการณ์หนึ่ง เกิดจากการที่นักเรียนได้กระทำอะไรระหว่างที่เขาทำกิจกรรมนั้น เมื่อใดก็ตามที่นักเรียนกำลังตัดสินใจว่าจะเลือกใช้วิธีไหน จะปรับวิธีการต่างๆอย่างไร หรือจะประสมประสานความรู้ที่มี อยู่แล้วจากประสบการณ์เดิมอย่างไร นั่นหมายความว่าเด็กกำลัง คิดและให้เหตุผล แรกเริ่มที่นักเรียนทำกิจกรรมจะเกี่ยวข้อง กับการให้เหตุผลและการคิด แต่เมื่อได้แก้ปัญหาแบบเดียวกันซ้ำๆ นักเรียนก็มักจะใช้แต่วิธีการนำไปใช้เท่านั้น
ระดับ "การคิด" ที่สูงขึ้นกว่านี้เป็นอย่างไร การมองดูอาจ ไม่ใช่ของจริง ท่านจะต้องมองเห็นนักเรียนไม่ใช่มองเห็นครู กระทำการสอน การพูดจาก็อาจไม่ใช่ของจริงแต่ท่านจะต้องได้ยินครู ถามคำถามนักเรียนว่าทำไม อะไรและอย่างไร ซึ่งเป็นคำถามที่ต้อง การคำตอบมากกว่าหนึ่งคำขึ้นไป ท่านจะต้องได้ยินนักเรียนกำลัง อธิบาย คาดเดา อธิบายรูปแบบ ให้ความคิดเห็น หรือสื่อ ความหมายในข้อวิเคราะห์ของเขา

การคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์นี้กำลังจะบังเกิดขึ้น ในชั้นเรียนคณิตศาสตร์ทั่วสหรัฐ อเมริกา เมื่อภาคเรียนที่แล้ว ผู้เขียนเรื่องนี้ได้ไปเฝ้าดูนักเรียนเกรด 2 คิดเกี่ยวกับจำนวน คุกกี้ที่ครูจะต้องแจกให้นักเรียน 10 คน คนละ 2 ชิ้นต่อวัน ตั้งแต่ วันจันทร์ถึงศุกร์แทนการบอกวิธีให้นักเรียนคิด ครูจะ ให้นักเรียนจับคู่แล้วช่วยกันคิดวิธีที่จะแก้โจทย์ปัญหา นี้ นักเรียนบางคู่วาดรูปนักเรียน 10 คน ในมือแต่ละข้าง ของทุกคนถือคุกกี้ข้างละ 1 ชิ้นในแต่ละวัน แล้วเขาก็นับ จำนวนคุกกี้ในภาพ
นักเรียนอีกคู่หนึ่ง สร้างตารางตั้งแต่วันจันทร์ ถึงศุกร์ ด้านซ้ายเป็นจำนวน 1-10 หาผลลัพธ์ของแต่ ละคอลัมน์ได้ 20 รวม 5 คอลัมน์ได้ 100 บางคู่ใช้เบี้ย แทนคุกกี้ บางคู่นับทีละ 10 สำหรับคุกกี้จำนวนแรกของ วันแรก อีก 10 ชิ้น ต่อไปเป็นจำนวนที่สองของวันแรก และต่อไปเรื่อย ๆ จนถึง 10 ชิ้นสุดท้าย การสนทนาของพวกเด็ก ๆ จะเกี่ยวกับวิธีจะทำ อย่างไรกับข้อมูลที่มีอยู่ และทำอย่างไรจะให้ได้ ผลลัพธ์ มีเด็กคนหนึ่งเขียนแค่ 56+44 = 100 บน กระดาษ ก็ได้รับการร้องขอให้อธิบายว่าคุกกี้เกี่ยวข้อง อย่างไรกับ 56 และ 44 นักเรียนเหล่านี้กำลังคิดและให้ เหตุผลอย่างแน่นอน นักเรียนที่มีวิธีการที่แตกต่างก็รับ ผิดชอบในการอธิบายวิธีคิดของเขาแก่เพื่อนร่วมชั้น เป็นการสังเกตการสอนที่มีคุณค่ามากในความเห็นของผู้เขียน


อีกชั้นเรียนหนึ่งที่ผู้เขียนได้ไปเฝ้าสังเกตคือเกรด 6 นักเรียนกำลังหาอัตราส่วนของเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งกับเส้น ผ่านศูนย์กลาง กระบวนการนี้เด็กชายคู่หนึ่งได้ใช้กฎการหา พื้นที่วงกลม และได้รับการขอร้องให้อธิบาย คนแรกตอบไม่ถูกเขาตอบว่าถ้าท่านสร้าง สี่เหลี่ยมรูปหนึ่งในวงกลม พื้นที่ของสี่เหลี่ยมรูปนั้นจะ เท่ากับ อีกคนไม่เห็นด้วยเขา สร้างวงกลมบนกระดานจากรัศมีเขาสร้างรูปสี่เหลี่ยมบน สี่เหลี่ยม ของ วงกลม แล้วชี้ให้เห็นว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยม คือ "ถ้าพื้นที่ของวงกลมทั้งสิ้นคือ 4 r2 พื้นที่ก็จะมาก เกินไป จำนวนที่ถูกต้องน่าจะเพียงแค่ 3 เท่าของ รูปสี่เหลี่ยม หรือคือ ซึ่งผู้เขียนคิดว่าเป็น การอธิบายสูตรที่แยบยล
อีกตัวอย่างหนึ่งเป็นนักเรียนมัธยมปลายหลัง จากผ่าน Advanced Placement Calculus Test เมื่อภาคเรียนก่อน ครูจะตรวจสอบเรื่อง ภาคตัดกรวยที่ยากขึ้นกับเด็กที่เธอสอน ก่อนจะลงมือดำเนินการครูได้ให้ดูภาพยนต์แสดงถึงแต่ละภาคตัดกรวยจะมีส่วนร่วมของระนาบและรูปกรวย นักเรียนคนหนึ่งก็ถามขึ้นว่าระเบียบวิธีของส่วนร่วมเกี่ยวข้องกับนิยามของภาคตัดกรวยที่ใช้ระยะทางอย่างไร ครูก็ส่งคำถามให้นักเรียนในชั้นให้ช่วยกันคิด เพื่อหาข้อความคาดการณ์

ผู้เขียนรู้สึกทึ่งมากได้ให้ข้อเสนอแนะไปข้อสองข้อ เมื่อสัญญาณหมดเวลาดังขึ้น โดยยังหาข้อยุติไม่ได้ นักเรียนก็ต้องออกจากห้องไปโดยถกเถียงกันไประหว่างทางว่ากลวิธีใดจึงจะบังเกิดผล ครูก็ยอมรับว่าตัวเธอเองก็ไม่รู้คำตอบเหมือนกันแต่จะไปค้นคว้าต่อที่บ้าน (ผู้เขียนเองก็ไม่ทราบเหมือนกันก็ต้องไปตรวจสอบกับแหล่งที่เชื่อถือได้ต่อไป!) เห็นได้ชัดว่านักเรียนเหล่านั้นคุ้นเคยกับการเสี่ยง คุ้นเคยกับการให้ผลเฉลย และการอธิบายคำตอบ และคุ้นเคยกับการคิดเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ กิจกรรมเหล่านี้ดูเหมือนและรู้สึกว่าเป็นตัวอย่างอันดีสำหรับการคิด และการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์

พื้นฐานของมาตรฐานคณิตศาสตร์ไม่ใช่แค่การมองดู หรือความรู้สึกที่เห็นหรือสังเกตได้ในชั้นเรียน หากแต่ต้องเป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจริง เด็ก ๆ ที่ยก ตัวอย่างข้างต้นนั้นได้นำเครื่องมือและกระบวนการ ที่ได้เรียนแล้วมาใช้ประโยชน์อย่างมีนัยสำคัญในคณิตศาสตร์ เป็นการสะท้อนผลการสอนของครู ฉะนั้นขณะที่ท่านวางแผนสำหรับบทเรียนในอนาคต ก็ควรที่จะพยายามหาทางหลายๆทางที่ให้นักเรียนได้มีส่วนเกี่ยวข้อง และไปให้เหนือกว่าขั้นการใช้ทักษะและกระบวนการ พยายามส่งเสริมให้นักเรียนบรรลุถึงเป้าหมายของคำว่า มาตรฐาน คือการคิดและการให้เหตุผลอย่างคณิตศาสตร์

--------------------------------------------------------------------------------
เรียบเรียงจากเรื่อง


Let's Talk about Mathematical Thinking and Reasoning
ของ Gail Burrill ในเอกสาร NCTM News Bulletin ฉบับเดือน January 1998 หน้า 3

ทักษะคณิตศาสตร์" สร้างได้...

เมื่อพูดถึงคณิตศาสตร์ ผู้ใหญ่บางคนได้ฟัง ยังหนาวๆ ร้อนๆ แล้วสำหรับเด็กเล็กๆ การเรียนรู้เรื่องนี้จะเป็นสิ่งที่ยากเกินไปสำหรับเขาหรือไม่ ?
คำตอบของคำถามข้างต้นนั้นคือ "ไม่ยากหรอกค่ะ" ถ้าเรารู้จักเนื้อหาและวิธีในการส่งเสริมทักษะทางคณิตศาสตร์ให้กับเด็ก ซึ่งเริ่มต้นได้ง่ายๆ จากสิ่งรอบตัวเด็กนี่เอง...
ทักษะทางคณิตศาสตร์ คือ ?
ก่อนที่จะค้นหาวิธีส่งเสริมต่างๆ ให้กับเด็ก เราควรจะรู้ว่าทักษะทางคณิตศาสตร์นั้นหมายถึงเรื่องอะไรบ้าง เพราะมีหลายคนที่เข้าใจว่าคณิตศาสตร์ คือ เรื่องของจำนวนและตัวเลขเท่านั้น แต่ความจริงแล้วคณิตศาสตร์มีเนื้อหาที่กว้างกว่านั้นมาก เพราะยังหมายรวมถึงรูปทรง การจับคู่ การชั่งตวงวัด การเปรียบเทียบ การจัดลำดับ การจัดประเภท เป็นต้น สิ่งเหล่านี้ก็คือคณิตศาสตร์เช่นเดียวกัน
เริ่มได้เมื่อไหร่ดี
เมื่อเรารู้ถึงเนื้อหาในเรื่องต่างๆ ของคณิตศาสตร์แล้ว เราจะพบว่าการส่งเสริมทักษะคณิตศาสตร์สามารถเริ่มได้ตั้งแต่เด็กลืมตาดูโลก เมื่อลูกมองเห็นสีสันของโมบายที่คุณแม่แขวนเอาไว้ให้เหนือเปล เขาก็จะมองเห็นความแตกต่างของสีสัน
บ้านที่จัดสิ่งแวดล้อมแบบนี้ให้ลูก ก็ถือว่าได้ส่งเสริมทักษะคณิตศาสตร์ให้กับเขาแล้ว เพราะหนูน้อยต้องได้สะสมประสบการณ์เหล่านี้ขึ้นมา เพื่อเป็นพี้นฐานการเรียนรู้คณิตศาสตร์ที่ผู้ใหญ่จัดหมวดหมู่ไว้ในอนาคต ถ้าเราไม่ตีกรอบว่าคณิตศาสตร์ คือ จำนวนและตัวเลขเท่านั้น เราก็สามารถส่งเสริมลูกได้ตั้งแต่แรกเกิด ผ่านการจัดสิ่งแวดล้อมที่เหมาะสม
ความเข้าใจที่แตกต่าง
การเรียนรู้ทักษะทางคณิตศาสตร์ของเด็กแต่ละวัยย่อมแตกต่างกันไป เราสามารถส่งเสริมเนื้อหาทางคณิตศาสตร์ได้ทุกด้านแต่ต่างกันตรงวิธีการค่ะ
สำหรับเด็กวัย 3- 4 ขวบ จำเป็นต้องเรียนคณิตศาสตร์ผ่านสิ่งที่เป็นรูปธรรมมากเพราะเขายังไม่เข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรม เช่น ให้เด็กสามขวบ ดูตัวเลข 2 กับ 3 แล้วเอาเครื่องหมายมากกว่าน้อยกว่าไปให้เขาใส่ เขาก็จะงงแน่นอน ว่าเจ้าสามเหลี่ยมปากกว้างนี้คืออะไร เด็กวัยนี้การเรียนเรื่องจำนวนตัวเลข ต้องผ่านสิ่งของที่เป็นรูปธรรมจับต้องได้ แต่ถ้าเป็นพี่ 5 หรือ 6 ขวบ จะเริ่มเข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรมหรือสัญลักษณ์ต่างๆ ได้แล้ว
เรียนรู้ได้จากสิ่งใกล้ตัว
หลักของการส่งเสริมทักษะทางคณิตศาสตร์ให้เด็ก คือ เรียนรู้จากรูปธรรมไปนามธรรม เรียนรู้จากสิ่งที่ใกล้ตัวไปสู่สิ่งที่ไกลตัว คนไทยโบราณจะมีเพลงร้องเกี่ยวกับอวัยวะต่างๆ ซึ่งเป็นการเริ่มต้นเรียนเรื่องง่ายๆ ก็คือ การเรียนรู้จากอวัยวะของตัวเองนั่นเอง เช่น ตาสองตา จมูกหนึ่งจมูก หูสองหู เมื่อเด็กเกิดมานิ้วมือก็รองรับเลขฐานสิบให้เขาได้เรียนรู้ ฯลฯ
สิ่งเหล่านี้เป็นการเรียนคณิตศาสตร์ในเรื่องจำนวนและตัวเลขโดยไม่รู้ตัว หรือบ้านไหนที่คุณแม่จัดระเบียบ มีการแยกประเภทเสื้อผ้า เช่น ลิ้นชักชั้นล่างใส่กางเกง ชั้นสองใส่เสื้อกล้าม ชั้นสามใส่ผ้าเช็ดตัว ฯลฯ ลูกบ้านนี้ก็จะได้เรียนคณิตศาสตร์เรื่องการจัดกลุ่ม การแยกประเภทไปด้วยเช่นกัน จึงเป็นเรื่องที่น่าเสียดายค่ะที่พ่อแม่บางคนพยายามค้นหาอุปกรณ์ หรือกลวิธียากๆ ในการสอนเด็ก แต่กลับละเลยสิ่งที่อยู่ใกล้ตัวเหล่านี้ไป
เด็กวัยนี้เรียนรู้จากการเล่นและการกระทำ เราจึงควรส่งเสริมทักษะคณิตศาสตร์ให้อยู่ในชีวิตประจำวันของเขา เช่น เวลาคุณแม่จัดโต๊ะอาหารก็เรียกเจ้าตัวน้อยมาช่วยจัดด้วย ว่านี่คือจานคุณพ่อ จานคุณแม่ จานพี่ เขาก็จะได้เรียนรู้คณิตศาสตร์เรื่องการจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง เป็นต้น กิจวัตรประจำวันของเด็กมีคณิตศาสตร์ซ่อนอยู่มากมายค่ะ แม้แต่งานบ้านง่ายๆ ก็เป็นของวิเศษที่สามารถส่งเสริมคณิตศาสตร์ให้ลูกได้ คุณพ่อคุณแม่ต้องรู้จักดึงสิ่งเหล่านี้ออกมาให้ลูกเรียนรู้ จัดสภาพแวดล้อมหรือกิจกรรมแล้วเปิดโอกาสให้เขามาช่วยกันคิด
ขอเพียงแค่เข้าใจ
เมื่อเด็กเข้าเรียนอนุบาลจะเริ่มมีแบบฝึกหัดที่เป็นระบบสัญลักษณ์เข้ามา สิ่งที่คุณพ่อคุณแม่ต้องสังเกตลูก คือ ลูกเรานั้นมีความพร้อมที่จะรับระบบสัญลักษณ์เหล่านั้นหรือยัง ถ้ายังไม่พร้อมก็ไม่ต้องบังคับว่าลูกต้องเข้าใจตอนนี้นะคะ เพราะบางครั้งลูกของเราอาจจะยังคงต้องการเรียนรู้จากสิ่งที่จับต้องได้ เราก็ควรช่วยเหลือและส่งเสริม
ยกตัวอย่างนะคะ เมื่อมีการบ้านที่ต้องเติมเครื่องหมายมากกว่าหรือน้อยกว่า แล้วมีตัวเลข 5 กับ 6 เราอาจช่วยเตรียมสื่อให้ลูกนับประกอบการทำการบ้านประเภทเม็ดกระดุม ก้อนหิน ฯลฯ ให้เขาเห็นเป็นรูปธรรมว่ามันมากกว่าจริงๆ เพราะฉะนั้นสัญลักษณ์ที่เหมือนปากกว้างๆ นี้จะต้องหันหน้าไปกองกระดุมหรือกองก้อนหินที่มากกว่า เป็นต้น
ความพร้อมของเด็กย่อมแตกต่างกันไปในแต่ละบุคคล คุณพ่อคุณแม่เองต้องเป็นคนคอยสังเกตว่าลูกเราอยู่ในระดับใด พร้อมมากแค่ไหน ไม่มีประโยชน์ที่จะเร่งลูกในยามที่เขายังไม่เข้าใจระบบสัญลักษณ์นะคะ การที่เราไปเร่งเด็กอาจทำให้เขามีความฝังใจว่าคณิตศาสตร์นั้นมันยากแสนยาก และไม่อยากจะเรียนรู้เรื่องคณิตศาสตร์อีก


--------------------------------------------------------------------------------

ข้อมูลจาก : นิตยสารรักลูก ฉบับที่ 284 เดือนกันยายน พ.ศ.2549